Расчет на центральное растяжение

По первой группе предельных состояний рассчитывается несущая способность элементов стальных конструкций, т.е. прочность, устойчивость и выносливость при действии многократно повторяющейся нагрузки.

Строительные стали – это однородные материалы, напряженное состояние которых под нагрузкой хорошо подчиняется закону Гука. Поэтому формулы для их расчета по своей структуре – это формулы сопротивления материалов.

Расчет растянутых элементов. На центральное растяжение работают тяги, подвески, ряд элементов ферм с шарнирными узлами. Растягивающая сила N приложена в центре тяжести поперечного сечения стержня, напряжения равномерно распределены по сечению. Разрушение происходит от разрыва металла по наиболее ослабленному сечению, имеющему отверстия для болтов, заклепок и др.

Расчет прочности центрально растянутого элемента выполняется по формуле

σ = N1/An ≤ ycRy, (7.25)

расчетное продольное усилие в сечении, кН, определяемое с учетом системы коэффициентов по формуле N1 = ynyfylcycaN;

соответственно коэффициенты надежности по назначению конструкции, по нагрузке, коэффициент сочетания нагрузок и дополнительный коэффициент условий работы, принимаемый в зависимости от причины разрушения стальных конструкций равным 0,7–1,0;

площадь поперечного сечения нетто, см2, т. е. полная площадь А за вычетом площади ослабления Aw;

коэффициент условий работы, равный 0,7–1,1, учитывающий неблагоприятные влияния внешней среды и другие обстоятельства, не отражаемые в расчетах прямым путем;

расчетное сопротивление стали растяжению по пределу текучести, МПа.

Наименьшая площадь сечения центрально растянутого элемента, необходимая для обеспечения прочности,

где N1 ус, Ry – то же, что и в формуле (7.25).

Затем по таблицам сортамента стали подбирается профиль, площадь поперечного сечения которого равна или немного больше Ап. Подбор сечения обычно завершается проверкой гибкости элемента.

Если при растяжении нормальная сила N приложена с эксцентриситетом е по отношению к центру тяжести сечения, то в стержне, кроме продольной силы N, возникает также изгибающий момент M = Ne. При совместном действии N и М элемент подвергается внецентрениому растяжению и его прочность проверяется из условия:

σ = N1/An + М1/Wn ≤ усRy, (7.27)

где N1, An, уc, Ry –

то же, что и в формуле (7.24);

расчетный изгибающий момент в сечении, кНм, определяемый с учетом системы коэффициентов по формуле М1 = ynyfylc yca М;

момент сопротивления сечения.

Расчет сжатых элементов. Несущая способность сжатого элемента может быть исчерпана в результате того, что напряжение в конструкции достигло предела текучести (потеря прочности) или при напряжении в конструкции меньшем, чем предел текучести (потеря устойчивости). Для проверки этих двух совершенно различных по своей природе причин потери несущей способности необходимо выполнить расчет прочности и расчет устойчивости сжатого элемента.

Расчет прочности центрально сжатых и внецентренно сжатых элементов производится так же, как и расчет прочности центрально и внецентренно растянутых элементов соответственно по формулам (7.24) и (7.25).

Проверка устойчивости при центральном сжатии осуществляется по формуле

где φ – коэффициент продольного изгиба, учитывающий необходимость уменьшения расчетного сопротивления Ry во избежание выпучивания стержня и зависящий от гибкости элемента λ, и расчетного сопротивления стали Ry.

При проверке устойчивости внецентренно сжатых элементов следует учитывать, что потеря устойчивости может произойти в плоскости действия момента и из этой плоскости. Поэтому проверка устойчивости внецентренно сжатого элемента осуществляется по формулам:

то же, что и в формуле (7.25);

коэффициент продольного изгиба при внецентренном сжатии;

Расчет изгибаемых элементов. Из курса сопротивления материалов известно, что в балке, подверженной изгибу, возникают нормальные σ, касательные τ, главные σmi напряжения. Кроме того, в местах приложения сосредоточенных сил в стенках балок возникают местные сжимающие напряжения σlос. При проектировании стального изгибаемого элемента необходимы проверка прочности по всем видам напряжений, расчет устойчивости, а также проверка жесткости элемента (второе предельное состояние).

Расчет на прочность элементов, изгибаемых в одной из главных плоскостей, выполняется по нормальным а и по касательным напряжениям по формулам:

расчетные значения соответственно изгибающего момента, кН•м, и поперечной силы, кН;

момент сопротивления сечения нетто, см3;

расчетные сопротивления стали соответственно изгибу и сдвигу, МПа;

статический момент полусечения относительно нейтральной оси, см3;

момент инерции сечения относительно нейтральной оси, см4;

толщина стенки, см.

расчетное значение нагрузки (силы), кН;

условная длина распределения нагрузки, определяемая в зависимости от условий опирания.

При совместном действии σ и τ материал балки находится в условиях сложного напряженного состояния. Для стенок балок должно выполняться условие

нормальные напряжения в срединной плоскости стенки, соответственно параллельные и перпендикулярные оси балки, МПа;

среднее касательное напряжение, – Q1/(th) МПа. Здесь t и h соответственно толщина и высота стенки, см;

коэффициент, учитывающий допустимость развития пластических деформаций на части стенки.

ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова»
Инженерно-технический институт
Кафедра прикладной механики
Решение задач
по дисциплине «Техническая механика»
270800 — Строительство

2. Центральное растяжение-сжатие Расчет статически определимой стержневой системы

№1 Какой величины груз Q надо подвесить в точке С невесомого
шарнирного механизма, чтобы он в положении, показанном на рис.,
находился в равновесии? Р = 10 Н.

а)
б)
N1
2
Q =100 кН

B
1
A
C
1
C
D1
fc
0,5

B
D
1
3
C
A
B
D
A


1
N2
Q
№2 Жесткая балка, деформацией которой пренебрегаем, закреплена и
нагружена, как показано на рис. Стержень 1 – стальной, сечением 10
см2, стойка 2 – деревянная, сечением 10 10 см2, стержень 3 – медный,
сечением 30 см2. Определить вертикальное перемещение точки С, если
линейные модули упругости материалов стержней равны Ест=2,1 105
МПа, Ем=1 105 МПа, Ед=1 104 Мпа.

Решение
Из условия равновесия жесткой балки АВ определяем внутренние
усилия в стержне 1 и стойке 2.
3
отсюда N1 66,667 кН 66,667 10 МН
m B N1 3 Q 2 0
3
отсюда N 2 33,333 кН 33,33 10 МН
Y N1 Q N 2 0
Примерная деформированная схема системы представлена на рис.б,
CC ‘ DD ‘ l3
где
BB’ l2
АА’ l1
Из закона Гука определяем удлинение стержней 1 и 3 и укорочение
стойки 2.
N1 1
66,667 10 3 1
5
l1
31,75 10 м
E ст A1 2,1 10 5 10 10 4
N 2 2 33,333 10 3 1
5
l 2
33
,
33
10
м
E A2 1 10 4 100 10 4
N3 3
100 10 3 0,5
l3
16,67 10 5 м.
5
4
E м A3 1 10 30 10
Из рис.б определяем:
DD’ BB’
AA’ BB’
31,75 33,33
2 33,33
2 10 5 32,28 10 5 м.
3
3
Вертикальное перемещение точки С будет:
f C CC’ 32,28 10 5 16,67 10 5 48,95 10 5 м.

№3 Конструкция АВСD, деформацией которой пренебрегаем,
прикреплена к фундаменту при помощи стержней 1, 2 и 3. Вес
конструкции Q и боковое давление Р (рис.а) Подобрать сечение стоек
1 и 3 и раскоса 2 из четырех равнобоких уголков, если [ ]=100 МПа.

Решение
Из условия равновесия конструкции АВСD
определяем усилия в стержнях 1, 2 и 3 (рис.б):
0
X
P
N
Cos
45
0
2
N 2 282,89 кН.
0
Y
Q
N
N
Sin
45
N3 0
1
2
m
D
Q 1 м P 1 м N1 2 м 0
800 1 200 1
N1
500 кН.
2
N 3 800 500 282,89 0,707 100 кН .

Из условия прочности стоек и раскоса определяем требуемые площади
уголков и из таблицы сортаментов подбираем номер равнобокого
Ni
Ni
уголка:
тр
Ai
,
Ai
;
N1
N1
500 10 3
; A1
125 10 3 м 2 12,5 см 2 .
4 A1
4 4 100
Для 1-го стержня принимаем четыре уголка 100 100 6,5 с площадью
сечения А1=12,8 см2.
N2
282,89 10 3
A2
0,7072 10 3 м 2 7,072 см 2 .
4
4 100
Для 2-го стержня — четыре уголка 63 63 6 с А2=7,28 см2.
N3
100 10 3
A3
0,25 10 3 м 2 2,5 см 2 .
4 4 100
2
Для 3-го стержня — четыре уголка 45 45 3 с A3 2,65 см .

№4 Для заданной стержневой системы (рис.а) требуется:
— определить усилия в стержнях;
— вычислить напряжения в поперечных сечениях стержней

Решение: Применяем метод сечений и рассматриваем равновесие плиты
AD под действием заданных нагрузок и искомых усилий в стержнях
(рис.б)
Из суммы моментов относительно точки А получим:

Из суммы проекций сил на ось Х получим:
Из суммы проекций сил на ось Y получим:
Решая полученную систему уравнений, находим:
Для проверки возьмем сумму моментов относительно точки D:
Следовательно, усилия в стержнях определены верно. Подставляя
числовые данные (Р = 600 кН), получаем:

По таблице сортамента прокатных профилей находим площади
поперечных сечений стержней:
-для стержня АВ – равнополочный уголок – 63*63*4:
А=2*4,96=9,92 см2;
— для стержня АС – 70*70*5: А=2*6,86=13,72 см2;
— для стержня DE – 70*70*7: А=2*9,42=18,84 см2.
Вычисляем напряжения в поперечных сечениях стержней:

№5 Определить размеры поперечных сечений стальных стержней. Для
стержней работающих на растяжение – [σ]р=160 МПа, работающих на
сжатие — [σ]с=100 МПа.

Ответы:
№1
Q = 77,4 Н.
№5
а) d1 = 27 мм, d2 = 58 мм;
б) 1-й стержень — № 12; 2-й стержень — № 8; 3-й стержень – 32*32*3;
в) 125*80*10; двутавр № 12.

123. Почему не допускается расчет железобетонных элементов на центральное сжатие, но допускается на центральное растяжение?

В процессе работы реальной конструкции всегда присутствуют случайные факторы, которые могут привести к смещению расчетной точки приложения силы N. Кроме того, из-за неоднородных свойств бетона (разная деформативность и прочность даже в пределах одного сечения) напряжения в сечении становятся неодинаковыми, что также приводит к смещению продольной силы. Для центрально растянутых элементов это не опасно, так как после образования трещин в них работает только арматура, напряжения в которой по достижении предела текучести выравниваются. В сжатых элементах даже небольшой эксцентриситет приводит к неравномерности нормальных напряжений и к искривлению продольной оси, что опасно в смысле потери устойчивости.

Вот почему к эксцентриситету ео, полученному из статического расчета, добавляют случайный эксцентриситет еа, принимаемый не менее 1/600 длины элемента, не менее 1/30 высоты его сечения и не менее 10 мм. Следовательно, если по результатам статического расчета ео= 0 (центральное сжатие), то назначают ео = еа. Исключение составляют только элементы статически неопределимых систем, но и в них расчетный эксцентриситет принимают не менее случайного.

124. Какие условия статики используют при расчете нормальных сечений на внецентренное сжатие?

Как и при расчете на изгибающий момент, используют два уравнения:∑Ms= 0 и ∑N= 0. Из суммы моментов внутренних сил относительно оси арматуры S находят несущую способность сечения (Ne)u=Nbzb +N´szs, или для прямоугольного сечения (Ne)u = Rbbx(ho 0,5x) + RscA´s(ho– a´).Условие прочности имеет вид: Ne &#8804 (Ne)u, где Ne — момент продольной силы N относительно оси арматуры S. Для прямоугольного сечения е = ео + (0,5h — a), где ео= M/N (с учетом еа).

Из суммы проекций всех сил на продольную ось (N + Ns– Nb — –N´s = 0) находят высоту сжатой зоныx. Для прямоугольного сечения (рис. 66):

Если х > хR, то возникает 2-й случай и вместо Rs появляется лишнее неизвестное ss, которое зависит от высоты сжатой зоны – здесь значения х и ss определяют расчетом по “общему случаю”, а для элементов из бетона класса В30 и ниже с ненапрягаемой арматурой классов А-I, A-II, A-III – из совместного решения уравнений:

125. Как проверить прочность таврового сечения с полкой в сжатой зоне на внецентренное сжатие?

Если х &#8804 h´f, то по тем же формулам, что и для прямоугольного сечения (см. вопрос 124), заменив в них b на b´f. Если x > h´f, то в формулы добавляется по одному слагаемому, соответственно: Nbf = Rb(b´f — b)h´f и Mbf = Nbf(ho 0,5h´f). При подсчете величины е следует помнить, что ось таврового сечения (центр тяжести) не совпадает с серединой высоты сечения.

126. Возможно ли, чтобы по расчету арматура s была сжатой при наличии в бетоне растянутой зоны?

Да, возможно при x > xR, хотя, на первый взгляд, и противоречит здравому смыслу. Дело в том, что для простоты расчетов криволинейная эпюра напряжений в сжатой зоне заменена на прямоугольную (рис. 64,б). Но полнота прямоугольной эпюры больше, а это значит, что ее высота меньше, чем криволинейной (иначе не будет обеспечена эквивалентная замена). В результате появляется “растянутая” зона, которой в действительности нет.

Ссылка на основную публикацию